Кто должен заполнять трудовой договор и проставлять все подписи - нанимаемый работник или сотрудник отдела кадров?

Договор, составляют и подписывают стороны договора, Вы заполняете свои РЕКВИЗИТЫ (но не более) в соответствии с требованиями ст. 56 ТК РФ Содержание трудового договора, работодатель свои - это нормально, особенно при массовом подборе персонал. Хотя в ТК нет прямых указаний о том, кто именно заполняет реквизиты сторон, в нормальных организациях это делает ОК, а работник проверяет правильность заполнения и ставит подпись, но..., Вам видимо повезло меньше! По поводу сбора подписей - никуда бегать не надо, Вы ставите только свою подпись (подписи) , а остальное работа ОК - однозначно. Вы приступаете к работе с даты указанной в договоре, а свой экземпляр получите после подписания его должностными лицами предприятия.

Работник только ознакамливается и подписывает

нифига себе !!!
это делает сотрудник отдела кадров, вы в договоре должны только расписаться в том, что ознакомлены с содержащимися в договоре сведениями. Кадровик сам передает оба экземпляра договора в дирекцию, где они заверяются печатью организации и подписью руководителя, после чего один экземпляр выдается на руки под роспись работнику

Всё правильно-договор заполняется собственноручно.

конечно отдел кадров! Обленились совсем! А карточку Т-2 они вам случаем на дали заполнить=))
P.S. собственноручно заполняется информация о работнике (паспортные данные, адрес, телефон и инициалы с подписью).

Трудовой договор с работником заключает работодатель, то есть организация, индивидуальный предприниматель или физическое лицо, вступающие в трудовые отношения с работником (ст. 20 ТК РФ) . Следовательно, конкретный работодатель и несет ответственность за составление и соответствие заключенного договора законодательству.
В соответствии с нормами ст. 67 Трудового кодекса РФ трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. При этом один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя.
Вы, совершенно правы, я впервые сталкиваюсь сподобной ситуацией, всегда трудовой договор готовит отдел кадров, а Вы ознакомившись, в случае согласия, подписываете.