Идёт ли стаж при работе по договору гражданско-правового характера?

По договору гражданско-правового характера обязательно начисляются взносы в ПФР и ОМС. Поэтому работа по такому договору включается в общий трудовой стаж.
Постановление Правительства РФ от 24.07.2002 N 555 (ред. от 20.07.2011) "Об утверждении Правил подсчета и подтверждения страхового стажа для установления трудовых пенсий"

Взносы в ФСС не начисляются, поэтому не входит в стаж для начисления больничного.
Взносы в ФСС от несчастного случая могут быть, могут не быть. Зависит от того, прописано ли в договоре. Поэтому больничный и возмещение по травме или профзаболеванию тоже может быть.
Приказ Минздравсоцразвития РФ от 06.02.2007 N 91(ред. от 11.09.2009) "Об утверждении Правил подсчета и подтверждения страхового стажа для определения размеров пособий по временной нетрудоспособности, по беременности и родам"
(Зарегистрировано в Минюсте РФ 14.03.2007 N 9103)

При определенных условиях этот договор через суд можно признать трудовым со всеми вытекающими.... обратись к юристу по месту жительства

Не идет. Вы ведь сторона по гражданско-правовому договору, а не по трудовому договору. В ГПД Вы ИСПОЛНИТЕЛЬ и выполняете работу для Заказчика. А надо быть РАБОТНИКОМ и работать у РАБОТОДАТЕЛЯ по трудовому договору.

Если в Договоре указано, что Заказчик производит на Вас выплаты в ПФ, тогда идет.

Но на практике, обычно такого пункта нет в Договоре.

Нет. Стаж идет только по "трудовому договору"

Если налоговые отчисления организация производит, то стаж по гражданско-правовому договору (договору подряда) идёт, сохраняй все подлинники договоров.