На основании чего, приказ о назначении на должность по совместительству продлевается?

1. Срочный трудовой договор на выборную должность может быть продлен дополнительным соглашением до истечения срока его действия, которое в свою очередь, является основанием к приказу. Если вы приняты на работу по совместительству по срочному договору, то он не может быть заключен на срок более 5 лет ( ст. 58 ТК РФ) . Поэтому срок трудового договора с учетом всех соглашений о его продлении не должен составлять более чем 5 лет. Если срок договора истек и ни одна из сторон не потребовала его расторжения, то договор считается заключенным на неопределенный срок.
2. Запись о работе по совместительству вносится по вашему желанию (заявлению) по основному месту работы на основании к/к приказов о приеме и увольнении.

Всю жизнь работаю по совместительству, но по основному месту работы никогда не афишировал совместительство, а когда начальство узнавало о моем совместительстве (не от меня, случайно) всегда имел неприятности.
В трудовой - ни одной записи о совместительстве.
Но пенсионный фонд получал перечисления с места работы по совместительству и они вошли в пенсию.

Что касается приказа - документ "Приказ" не может быть продлен. Может быть продлен "Трудовой договор", "Контракт" и т. п.
Продлеваются они ПРИКАЗОМ на основании личного заявления сотрудника, представления непосредственного начальника и т. п.
Т. е. приказ - правовой акт, являющийся командой для выполнения сотрудниками (отдела кадров, бухгалтерии) выполнения определенных действий.
http://www.edou.ru/enc/razdel22/?COURSE_ID=4&LESSON_ID=65