возможно отправить заявление факсом???

Процесс оформления увольнения по собственному желанию (по инициативе работника) всегда начинается с подачи письменного заявления. «Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме… Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении» (ч. 1 ст. 80 ТК РФ) .
Сообщения, передаваемые через информационно-коммуникационную сеть, представляют собой не что иное, как информацию (т. е. сведения (сообщения, данные) независимо от формы их представления) , но не документ в юридическом смысле этого термина.
В то же время заявление об увольнении по собственному желанию представляет собой письменный документ («… предупредив об этом работодателя в письменной форме…») .
Таким образом, законодатель устанавливает требования к форме этого документа. Никакой иной носитель, кроме бумажного, согласно смыслу закона, для этой информации непригоден.
Представим, что от работника поступило заявление, которое им не подписано. Совершенно ясно, что оно не может повлечь никаких последствий, так как работник не подтвердил свою волю собственноручной личной подписью. Такое заявление нельзя расценить как полноценный документ.
Поэтому сообщение по факсу, по сути своей не содержащее и не могущее содержать личной подписи работника, не может быть документом по личному составу и основанием к приказу.
При принятии решений, затрагивающих интересы работника, работодатель не вправе основывать свое решение на персональных данных, полученных исключительно в результате их автоматизированной обработки или электронного получения (п. 6 ст. 86 ТК РФ) . То есть данные, полученные в электронном или ином виде и не подтвержденные иными материальными носителями, не могут лежать в основе решения работодателя, затрагивающего интересы работника.

нет, на заявлении должна быть оригинальная подпись заявителя.

Трудовой кодекс не устанавливает ограничений по форме заявления и допускает направление его по почте, в том числе и по факсовой.

Любое заявление работодателю должно быть представлено в оригинале (вас ведь тоже не устроят паспорт или водительское удостоверение, переданные вам по факсу) . Отправляя заявление факсом, вы лишь информируете работодателя о своём намерении, но никак не предупреждаете его письменно, как того требует ст. 80 ТК РФ (если речь об увольнении по собственному желанию) . Поэтому заявление нужно отправлять только в оригинале (лично, нарочным или по почте) , либо телеграммой в категории "заверенный факт"

Для ускорения получения заявления работодателем отправляйте его заверенной телеграммой.

вы можете отправлять заявления хоть голубиной почтой. Но что вы будете делать, если адресат потом скажет, что ваши заявления (в том числе и факсовые) не получал?