Обязаны ли мне предоставить копию трудового договора или другой документ, если я при переезде его потеряла?

О трудовом договоре не понятно, как он оказался на предрприятии, что Вы его требуете.

О материальной ответственности. Оплата за материальную ответственность, должна быть заложена первоначально в оклад по должности.
О выдаче копий документов. Напишите заявление о предоставлениии копий документов и Вам обязаны выдать их в течение 3-х рабочих дней - ст. 62 ТК РФ.
О полной материальной ответственности, не во всех случаях Вы обязаны выплачивать ущерб в 100% размере, только при наличии Вашей прямой вины.

Сделайте запрос. В соответствии со ст. 62 ТК РФ по письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику копии документов, связанных с работой (копии приказа о приеме на работу, приказов о переводах на другую работу, приказа об увольнении с работы, выписки из трудовой книжки, справки о заработной плате, о начисленных и фактически уплаченных страховых взносах на обязательное пенсионное страхование, о периоде работы у данного работодателя и др.) . Копии документов, связанных с работой, должны быть заверены надлежащим образом и предоставляться работнику безвозмездно.

не согласна с Лидией. Она ссылается на 62 ст. ТК РФ. а если посмотреть ст. 20 ТК Работник - физическое лицо, вступившее в трудовые отношения с работодателем. Между Вами предприятием, где Вы работали уже нет трудовых отношений, следовательно вы уже работником в той организации не значитесь. Но у Вас есть конституционное право на предоставление информации. ПишИте запрос в организацию . По правилам делопроизводства, на запрос могут ответить в течение месяца. Могут выдать справку о том, что Вы работали, о том, какую зарплату получали и т. д...

По сути они вам предложили и вы подписали - тут все верно с т. з. закона. Конечно это должно оплачиваться но вас же не кто не заставлял. Вы могли бы просто отказаться и уволиться если вас не устраивает что то .
Копию договора вам должны выдать, напишите заявление с просьбой выдать в двух экземплярах, один под роспись в получении. Если же мотивированного отказа не будет то можете обратиться в Трудовую инспекцию с жалобой!