Оплатят ли мне больничный в таком случае: ушёл на больничный 4 января, 11 января рабочий день, но...

Если вы на больничном, то вы не можете быть в отпуске. Пока вам б/л не закроют, в табеле должны быть проставлены дни болезни. Как только б/л закрывается, вам предоставляется отпуск на то кол-во дней, которое было оформлено. Перенос отпуска оформляет кадровик. Если брали 7 дней, а б/л закрыт, скажем, 15 января - то с 16го эту неделю и отсчитывайте. Все будет оплачено, а как же. Отказать никто права не имеет. Праздничные дни на выдачу больничного никак не влияют, так как человек может работать и в праздники по своему графику. Я вот работаю.

сдвинут отпуск- выходные не оплачивают

Это, простите, по какому закону: "(...просто по закону, если больничный открывается и закрывается в праздничные дни то он не оплачивается...) "?

Больничный должны оплатить. А на счет 11января решите с работодателем (ст. 124 ТК РФ. "Продление или перенесение ежегодного оплачиваемого отпуска":
Ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть ПРОДЛЕН ИЛИ ПЕРЕНЕСЕН на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника, в случаях:
временной нетрудоспособности работника... )

Где написано такое, что больничный открытый и закрытый в праздничные дни не оплачивается? Оплачиваются календарные дни. А если больничный выпал на ежегодный отпуск, то отпуск продлевается на число дней больничного.

оплатят 11 января. отпуск переносится на один день при условии, что вы отправляетесь в него 12 января

Нет