На предприятии проходят организационно-штатные мероприятия по сокращению штата работников

Если при переименовании должности изменяются функциональные обязанности, то по сути это перевод на другую должность по ст. 72.1 ТК РФ и вы должны обосновать, что определенные сторонами условия трудового договора не могут быть сохранены.
Если работник согласен, то можно подписать соглашение в любое время не соблюдая 2-х месячный срок предупреждения, которое послужит основанием к приказу о переводе.
Если работник не согласен, то действует норма ст. 74 ТК РФ, т. е. в течении 2-х месячного срока уведомления вы обязаны предлагать другую работу и только в случае отказа работника, либо отсутствия другой работы увольняете по п. 7 ч. 1 ст. 77 ТК РФ с выплатой выходного пособия в размере 2-х недельного среднего заработка (ст. 178 ТК РФ).

Если меняется и название должности, и функционал, то происходит сокращение численности одних работников и введение новых штатных единиц. Учтите только, что вы должны предложить сокращаемым работникам работу на вашем предприятии, соответствующую их квалификации (образованию, опыту работы и т. п.) , в том числе и на вновь вводимые штатные должности.

Т. к. меняется функционал, значит, у Вас перевод на другую должность. Согласно ст. 72.1 ТК РФ это возможно только с согласия работника:

"Перевод на другую работу - постоянное или временное ИЗМЕНЕНИЕ ТРУДОВОЙ ФУНКЦИИ работника и (или) структурного подразделения, в котором работает работник (если структурное подразделение было указано в трудовом договоре) , при продолжении работы у того же работодателя, а также перевод на работу в другую местность вместе с работодателем. Перевод на другую работу допускается только с ПИСЬМЕННОГО СОГЛАСИЯ работника, за исключением случаев, предусмотренных частями второй и третьей статьи 72.2 настоящего Кодекса".

Считаю, что в данном случае ст. 74 и п. 7 ст. 77 не применимы. Из ст. 74 ТК РФ: "В случае, когда по причинам, связанным с изменением организационных или технологических условий труда (изменения в технике и технологии производства, структурная реорганизация производства, другие причины) , определенные сторонами условия трудового договора не могут быть сохранены, допускается их изменение по инициативе работодателя, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ИЗМЕНЕНИЯ ТРУДОВОЙ ФУНКЦИИ работника". Поэтому в данном случае у Вас не "изменение существенных условия трудового договора" по ст. 74 ТК РФ, а сокращение одних должностей и ввод новых. Соответственно должна быть проведена процедура сокращения. В ходе этой процедуры Вы предлагаете работникам вновь введенные вакантные должности. Если они соглашаются, оформляете перевод, если нет - сокращение штата (п. 2 ст. 81 ТК РФ).

Предлагаете работникам вакантные должности - по смыслу вопроса всем должно хватить. Приказом назначаете работников на новые должности. Оформляете дополнительные соглашения к трудовым договорам в которых указываете основания проведения ОШМ, новые наименования должностей, новые должностные оклады. В случае отказа работника от предложенных должностей - увольняете по п. 7 ч. 1 ст. 77 ТК