Вопрос по ТКРФ

Не должен. Согласно ст. 79 ТК РФ срочный трудовой договор прекращается с истечением срока его действия.

нет, такой обязанности у него нет.

Не на что ссылаться, потому что такой статьи нет.
Ответ: нет, не должен.

Ст. 81 ТК РФ запрещает увольнять одинокую мать (разведенные женщины к этой категории не относятся) , если она воспитывает ребенка, не достигшего возраста 14-ти лет по инициативе работодателя. Увольнение в связи с окончанием срока договора не относится к увольнению по инициативе работодателя. Таким образом, вас работодатель обязан письменно уведомить за 3 дня об окончании срока договора, если этого не будет сделано, тогда ваш договор станет бессрочным. Так как заключенный срочный трудовой договор невозможно продлить (исключение-продление на срок окончания беременности) . Часть 4 ст. 58 ТК РФ содержит специальное правило о том, что если ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу, условие о срочном характере договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок. Таким образом, в случае заключения срочного трудового договора либо он может быть расторгнут в связи с истечением срока его действия, либо стороны продолжат трудовые отношения на бессрочной основе.

Срочный трудовой договор продлевается только во время беременности работника до родов. Так что вашем случае никто не обязан продлевать договор