Можно ли уволить сотрудника за прогул в данной ситуации?

которые гласят "Если сотруднику необходимо отпроситься, он предупреждает своего непосредственного руководителя не позднее чем за 1 рабочий день и пишет заявление за свой счет".

как безграмотно сформулировано... .
Отпуск б/с это не обязанность, а право сотрудника . Причем тут 1 рабочий день... Вы не можите устанавливать такие нормы Вы нарушаете права ваших сотрудников.... Отпрашиваться сотрудник может когда угодно -это его право. У работодателя есть ПРАВО не отпустить, но тогда например в случае плохого самочувствия в рамках действующих норм Охраны Труда, работодатель берет на себя ОТВЕТСТВЕННОСТЬ.
"секретарь поставил на копии заявления "Принято 4 июля такого-то года, ФИО, подпись".-копия не имеет юр. ценности... и я не понимаю при чем тут начальник то отсутствующий! чья обязанность принимать и регистрировать заявления секретаря? ! так зачем на копии что то там лепить. .
"Имеются ли основания для увольнения работника по статье за прогул"- да какие там основания у вас ошибок куча в действиях и Локальнонормативной базе, умысла у сотрудника я не обнаружила с ваших тут слов... увольнение иза прогул -это почти ВСЕГДА суд! ВАМ в СУД рано!

На инвалида такие правила, как предупредить за 1 день, не распространяются, поскольку его защищает ст. 128 ТК, а там не сказано за сколько дней он пишет заявление, там есть прямая обязанность предоставить отпуск без оплаты и все! Даже если бы он пришел 3 июня утром и подал такое заявление, то работодатель обязан его принять.
А наличие или отсутствие руководителя- вообще не повод для споров. Есть секретарь, есть виза о принятии заявления, а уж все остальное - проблемма работодателя.

Нет.

Если секретарь завизировал, то документ принят.

Нет конечно, не имеют ведь есть заявление с отметкой секретаря, а то что руководитель отсутствовал- это не основание для увольнения