По какой статье правльно уволить директора за прогулы?

Мария, ты полагаешь директору будет легче объяснить что означает запись в трудовой книжке о грубом нарушении трудовых обязанностей? Это к тому, что, по твоим словам, вы его «пожалели» … Ну да ладно, если им было допущено нарушение, значит, было…
По сути:
Подпункт «а» пункта 6 и пункт 10 статьи 81 ТК все-таки предусматривают разные основания для увольнения. На вопрос – что такое грубое нарушение руководителем своих обязанностей дается разъяснение в пункте 49 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 № 2 «О практике применения судами Трудового кодекса РФ» . Там сказано, что в качестве грубого нарушения трудовых обязанностей руководителем организации следует, в частности, расценивать неисполнение возложенных на это лицо трудовым договором обязанностей, которое могло повлечь причинение вреда здоровью работников либо причинение имущественного ущерба организации.
Значит, если прогул директора не повлек за собой причинение вреда здоровью работников или причинение имущественного ущерба организации, то и уволить директора следовало по пп. «а» п. 6 ст. 81 ТК.

если вы его пожалели, ему нужно было предложить уволиться по собственному желанию, а иначе - общие основания увольнения за прогул (пп. а п. 6 ч. 1 ст. 81 ТК РФ)

если причина всему прогул, то пп. а п. 6 ст. 81 .
зачем жалеть его? если он надумает обращаться в суд, он вас не пожалеет!