Вопрос для меня очень важный. Пожалуйста, ответьте только те, кто знает.

Две разные школы, два разных руководителя - два разных юридических лица, то что они относятся к одному департаменту образованию не имеет никакого значения.
Если вас официально сократили (с записью в трудовой книжке) , то при увольнении вы должны были получить, по-мимо з/п за отработанное время, одно выходное пособие в размере среднего месячного заработка за первый месяц, за второй и третий вам уже не положено, т. к. вы уже трудоустроены через две недели после увольнения.

Нужны уточнения. Кто ваш работодатель-школа или отдел образования? Посмотрите запись в трудовой. И процитируйте ее дословно.
Если вы будете уволены по сокращению, то вам должны выплатить выходное пособие в размере среднемесячного заработка. Пособие за второй месяц выплачивается, если вы не трудоустроились. Если вы к тому времени уже будете работать, то естественно, пособие вы не получите.

Уважаемая Карина! Школы в настоящее время относятся к управлению обравзования только номинально, а сама школа является юридическим лицом. Значит, все выплаты в соответствии со статьей 178 ТК РФ Вам должен производить директор школы, сокративший Вас.

Да все верно!! ! Работодатель Вас сократил, и предложил Вам другую вакансию, на которую Вы согласились, так что никакой речи о двух зарплатах идти не может. Вот если ли бы Вы отказались от предложенной вакансии этого работодателя, то естественно по закону Вам бы выплатили Ваши две зарплаты. А так все по честному.

грамотно разводят. точно не знаю по договору обязаны