Должна лия отрабатывать 2 недели при увольнении с работы, имея 2-х детей 13 и17 лет?

А при чем тут ваши дети? ТК РФ един для всех работников не зависимо от наличия или отсутствия у них детей. Вряд ли работодатель признает наличие детей уважительной причиной для увольнения без предупреждения. Есть ст. 80 ТК РФ, где четко прописана процедура увольнения по собственному желанию: Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

отрабатывать никто не должен, просто надо написать заявление за 2 недели до увольнения - предупредить заранее

возьмите больничный и не отрабатывайте, в противном случае придется отработать

А дети обычные, не из золота, там, не лунные?

Да, не отрабатывают те у когда есть дети не достигшие 5-ти летнего возраста

пошли всех подальше, все равное тебе ничего не будет)
ps новая трудовая только и не фатк