написала заявление по уходу за ребенком до 3 лет, начальник не подписал, отправила в этот же день почтой с уведомлением.

Не волнуйтесь, уволить вас не имеют права, запрещает ст. 261 ТК РФ. Да к тому же, нет отпуска по уходу за ребенком до 1,5 лет, а женщине предоставляется отпуск по уходу за ребенком до 3-х лет (ст. 256 ТК РФ) . Работодатель обязан был оформить вам отпуск по уходу за ребенком изначально до 3-х лет, а не до 1,5 лет. Просто до 1,5 лет отпуск оплачивается в размере 40% среднего заработка+50 руб. компенсационная выплата, а с 1,5 до 3-х остается только право на получение компенсационной выплаты в размере 50 руб.

А это личная трагедия начальника. Вам обязаны предоставить отпуск по уходу по первому требованию.
Вы можете обраться в трудинспекцию, прокуратуру или суд.

Ваше дальнейшее действие - обращение в государственную инспекцию труда, прокуратуру, можно и в суд. Вас восстановят. Так, как до увольнения за прогул должен быть выполнен целый ряд действий. И самое, главное получение от Вас письменного объяснения проступку. Так, что боритесь!

Статья 261 ТК разрешает увольнять за прогул женщин, имеющих детей в возрасте до 3 лет. Но начальник обязательно должен взять с Вас объяснительную, если решит увольнять Вас за прогул. Вы на рабочем месте отсутствуете по уважительной причине, поэтому уволить Вас за прогул начальник не сможет.

Конечно, лучше бы было поставить на копии Вашего заявления отметку у секретаря о том, что от Вас в такой-то день принято заявление и зарегистрировано под таким-то номером. Если Вы отправили заявление почтой, то дополнительно позвоните как можно бОльшему числу сотрудников (бухгалтерия, отдел кадров и т. д. ) и скажите им, что вы в отпуске по уходу за ребёнком.