Должен ли сотрудник обучать человека своей работе, если он этого не хочет, и какие могут быть последствия?

обучение - только с согласия всех участников, главы 31-32 ТК РФ

учить другого работника вы не обязаны, если это не определено вашим трудовым договором, ст. 60 ТК РФ

жалобу в гос инспекцию труда, можно через интернет

Последствия - выгонят этого сотрудника за саботаж

Есть документы, которые Вы подписываете при приеме на работу: правила внутреннего трудового распорядка, правила противопожарной безопасности, инструктаж по технике безопасности, и другие, - в их числе - ДОЛЖНОСТНЫЕ ОБЯЗАННОСТИ. Секретарь или руководитель ( его зам. ) должны Вам предоставить этот нехитрый документ и Вы вправе снять с него копию и обязаны расписаться в подлиннике, что Вы ознакомлены ( как и в других бумагах ). Устные договоренности при приеме на работу ( касаемо реальной заработной платы, условий труда и прочего ) не считаются обязательствами сторон. Учтите, что должностные обязанности составляются человеком, имеющим хорошее юридическое и иное образование ( соответствующее действиям Вашей организации ), и, хотя Вам говорят, что это - формальность и более ничего, даже в 2-3 маленьких строчках может быть завуалирована информация о том, что Вас вправе обязать обучать другого сотрудника. Причем настолько завуалирована, что иной раз я сам такого хорошего документа от формальной бумажки не отличу - на что у меня и штат ХОРОШИХ адвокатов имеется. Плох тот руководитель, у которого нет адвоката по трудовому праву! Не мучайтесь долго, сходите с копиями Ваших подписанных документов к хорошему юристу - и Вам подробно все объяснят. А за нарушение таких "писулек", Вми подписанных, полагается - замечание, выговор, строгий выговор и более ничего. Если Вы посчитаете наказание подобного рода незакнным или через чур суровым, надо обращаться в Районную прокуратуру с просьбой проведения проверки. Сначала - районной, потом - и в Городскую если бщий язык там не найдете. Или оспаривать решение руководителя через суд; вот тогда уж при повторном выговоре руководителю Вашему другая "статья ломится" - гонения... Если суд Ваш выговор или замечание отменит.
Так что - успехов!

Обучать своей работе, чтобы через некоторое время он занял твое место? Не должны!
Вроде как должны принимать уже образованного, поэтому и ответственности за это не установлено, иначе это было бы абсурдно и противоречиво.