Могу ли я уволиться с работы не отрабатывая две недели? Даже если этого требует директор?

Можете. Если даст разрешение работодатель.

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

естественно, можете, потому что НИКАКОЙ ОТРАБОТКИ НЕТ И НИКОГДА НЕ БЫЛО, а вот предупредить работодателя за 14 дней ВЫ ОБЯЗАНЫ, и ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ НА УСМОТРЕНИЕ РАБОТОДАТЕЛЯ...

Если увольняетесь: "по соглашению сторон", дата может быть любая, хоть на следующий день! В заявлении это должно быть прописано, и подписано двумя сторонами.

зависит от условий контракта

Имеете если принесете справку с будущей работы о с требованием выйти на работу с энного числа. Но если вы самовольно бросите работу, то работодатель вам просто не заплатит.

Наталья, если у вас срочный трудовой договор, то вы предупреждаете работодателя за 3 дня. Посмотрите договор или перешлите мне я посмотрю и дам ответ в соответствии с вашей ситуацией