Имею ли я право на сокращенный рабочий день, если мой ребенок не достиг возраста 10 лет

Работодатель ОБЯЗАН устанавливать неполный рабочий день (смену) или неполную рабочую неделю по просьбе одного из родителей (опекуна, попечителя) , имеющего ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет) .
При работе на условиях неполного рабочего времени оплата труда работника производится пропорционально отработанному им времени или в зависимости от выполненного им объема работ.
Работа на условиях неполного рабочего времени не влечет для работников каких-либо ограничений продолжительности ежегодного основного оплачиваемого отпуска, исчисления трудового стажа и других трудовых прав. (ст. 93 ТК РФ) . Т. е. пишите заявление, прикладывайте к нему справку о том, что второй родитель этим правом не пользуется и вам обязаны будут установить режим неполного рабочего времени.

у нас половина страны имеют детей до 10 лет... всем сокращенный день подавай? кто работать будет?

Нет не имеете.

Надо различать понятия сокращенная продолжительность рабочего времени и неполное рабочее время. Разница в оплате труда.

Право на сокращенную продолжительность рабочего времени не имеете.

Статья 92. Сокращенная продолжительность рабочего времени
Сокращенная продолжительность рабочего времени устанавливается:
для работников в возрасте до шестнадцати лет - не более 24 часов в неделю;
для работников в возрасте от шестнадцати до восемнадцати лет - не более 35 часов в неделю;
для работников, являющихся инвалидами I или II группы, - не более 35 часов в неделю;
для работников, занятых на работах с вредными и (или) опасными условиями труда, - не более 36 часов в неделю в порядке, установленном Правительством Российской Федерации с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений.
Продолжительность рабочего времени учащихся образовательных учреждений в возрасте до восемнадцати лет, работающих в течение учебного года в свободное от учебы время, не может превышать половины норм, установленных частью первой настоящей статьи для лиц соответствующего возраста.
Настоящим Кодексом и иными федеральными законами может устанавливаться сокращенная продолжительность рабочего времени для других категорий работников (педагогических, медицинских и других работников) .

Зато имеете право на неполное рабочее время.

Статья 93. Неполное рабочее время
По соглашению между работником и работодателем могут устанавливаться как при приеме на работу, так и впоследствии неполный рабочий день (смена) или неполная рабочая неделя. Работодатель обязан устанавливать неполный рабочий день (смену) или неполную рабочую неделю по просьбе беременной женщины, одного из родителей (опекуна, попечителя) , имеющего ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет) , а также лица, осуществляющего уход за больным членом семьи в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации.
При работе на условиях неполного рабочего времени оплата труда работника производится пропорционально отработанному им времени или в зависимости от выполненного им объема работ.
Работа на условиях неполного рабочего времени не влечет для работников каких-либо ограничений продолжительности ежегодного основного оплачиваемого отпуска, исчисления трудового стажа и других трудовых прав.