Будут ли платить больничный, если у меня срочный трудовой договор на неполную рабочую неделю сроком на один год?

На оплату больничного не влияет то, что трудовой договор у вас срочный и на неполную неделю. Да же совместителям больничный оплачивают. Но похоже, что у вас договор оказания услуг. По нему больничный не оплачивают. Сначала разберитесь, какой у вас договор.

работодателя абсолютно не волнует ваш медицинский полис. работодатели давно уже полисы ОМС не выдают, этим занимаются страховые компании, куда вы обязаны обратиться лично. полис ОМС нового образца надо получить до 31.12.2013 г.
если с вами заключен трудовой договор, а больничный оформлен правильно, то работодатель обязан этот больничный оплатить.
а трудовая книжка вообще-то должна храниться у работодателя, а не у вас на руках. без трудовой книжки какая может быть оплата больничного? страховой стаж как работодатель будет считать?

Вам надо просто получить новый полис. Все вам оплатят

Не совсем понятно, какой у вас на руках договор. Если гражданско - правового характера ( а скорее всего он, т. к. "трудовая на руках"), пособие по нетрудоспособности выплачиваться не будет, т. к. только трудовой договор гарантирует оплату пособия ( ст. 183 ТК РФ).

Скорее в данной ситуации я соглашусь с Людмилой, т. к. работники часто не видят разницы в этих договорах, а работодателей это очень устраивает, и происходит подмена трудового договора на договор подряда, а он не предусматривает оплаты больничных листов.