До конца отпуска 5 дней, предложили другую работу, приступать послезавтра. Могу уволиться без отработки?

Больничный Вам не поможет. Он продлит количество дней отпуска. А у Вас условие - приступить послезавтра. И раньше Вас не уволять. Да и заморочка будет с записями в трудовую, которые должны быть последовательны: увольнение, следующей датой - прием. Поэтому, предложите вариант сомместительства: по нему не надо делать запись в трудовую. И одновременно пишите заяваление на расторжение договора по старому месту работы, соблюдая положения статьи 80 ТК РФ - предупредить работодателя за 2 недели об увольнении ( ст. 80 ТК РФ) . Когда получите на руки трудовую, в договоре по совместительству внесут изменения. Или его расторгнут и заключат новый.

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника. (ст. 80 ТК РФ)

так 17 дней отпуска на декабрь запланированы и предоставлять их вне графика просто по вашему желанию работодатель не обязан. договаривайтесь с работодателем.

Обязана уведомить рабовладельца за две недели.
Так что надейся на его милость. Больничный.

договаривайся по хорошему, ибо больничный могут проверить (из вредности)