Увольнение после отпуска авансом, во время которого был больничный

Работник абсолютно прав, требуя оплатить больничный. Вы забываете, что оплата отпуска и выплата пособия по нетрудоспособности - это совершенно разные вещи. Оплата отпуска не отменяет обязанности оплатить больничный.
Оплата больничного осуществляется за все календарные дни болезни, в том числе и в том случае, если заболевание пришлось на те дни, когда работник фактически не работал, но имел право на оплату по среднему. К таким периодам относятся ежегодные отпуска. Поэтому, если болезнь (своя) совпала с днями оплачиваемого отпуска, работнику оплачивается больничный в полном объеме, а отпуск продлевается на соответствующее число дней. Так что больничный нужно оплатить.
Теперь об отпускных.
В Вашем случае работник получил часть отпуска авансом - за неотработанное время - и отработать его он не имеет возможности в связи с увольнением. В соответствии со статьей 137 Трудового кодекса удержать выплаченные авансом отпускные при увольнении можно. Но не всегда.
Обратите внимание на основание увольнения: с какой формулировкой Вы это делаете? Если речь идет о ликвидации подразделения, то это, видимо, пункт 2 статьи 81 ТК РФ - сокращение штата. Коль так, то кодекс прямо запрещает удерживать из выходного пособия таких работников выплаченные авансом отпускные. Значит, и удержать излишне выплаченные отпускные нельзя.
Так же нельзя удерживать отпускные, выплаченные авансом, при увольнении:
- в связи с отказом от перевода;
- в связи с ликвидацией организации;
- при смене собственника.
Если формулировка у увольнения какая-то другая, то удержать отпускные можно. Но при этом необходимо выдержать требования статьи 138 ТК РФ - общая сумма удержаний не может превышать 20 % от причитающейся работнику выплаты.

При ликвидации предприятия, как и при сокращении работника отпуск, предостваленный авансом с работинка не удерживается. Вы обязаны больничный оплатить полностью.

работяга ваш прав
и кстати- за 2 месяца не забыли предупредить его?

а центр занятости?

с таким Вашим мелочным отношением (на его бы месте) с удовольствием насоздавал бы Вам кучу проблем

p.s. Экономить на недельном заработке в Вашем случае - крайне глупо.