могут ли отказать в увольнении если я была на больничном?

Нет, работодатель не прав. "Отработки" вообще не существует. Законт требует предупредить работодателя о своем увольнении за 14 дней с даты увольнения. При этом закон не ограничивает Вас в праве уйти на это время в отпуск или на больничный. Работодатель обязан уволить Вас 23.09 и 22.09, в последний рабочий день, сделать вам расчет по заработной плате и отпускным, а также выдать трудовую книжку. Поговорите с работодателем повторно и сообщите, что в случае противоречий Вы обратитесь за помощью в Трудовую инспекцию. Уверена, что Ваш вопрос мгновенно решится.

перед уходом на больничный заява посылается заказным письмом.
повторите ещё раз, более чётко

Да, работник имеет право расторгнуть трудовой договор в любое удобное для него время, в том числе и на больничном. Но видел ли работодатель Ваше заявление, т. к. статьей 80 ТК РФ установлено, что "...течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении". Перед уходом на больничный следовало зарегистрировать заявление у секретаря и на своем экземпляре поставить дату приема.

немного не по теме, но к сведению- больничный лист оплачивает бывший работодатель, даже если ты заболеешь после увольнения в течении месяца
все остальное Евгения четко объяснила

Работодатель прав! Работодатель заявит, что Вашего заявления в глаза не видел. Как Вы докажите, что подали заявление? У Вас есть отметка на Вашем экземпляре? Ведь в статье 80 ТК РФ четко прописано: "Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении". Так что, увы - все с начала...

а с твоей стороны это хитрый ход был