Имеет ли организация право предоставить сотруднику возможность трудиться в день закрытия его больничного (по согласию)?

Однозначно нет, врач не имеет права в день посещения поставить Вам выход на работу, всегда пишут следующий день даже если он выходной. А работодатель не имеет права Вас направить в командировку во время временной нетрудоспособности. Посему даже согласие работника не даёт работодателю нарушать ТК РФ. Так же могут возникнуть проблемы с оплатой билета и суточных за день отъезда, а уж как это отразить в табеле, полная подстава.

не возникнет ни каких "коллизий" и ни каких претензий ФСС не предъявит. вопрос решается по согласованию с работодателем. просто за этот день либо пособие по временной нетрудоспосбности выплачивается, либо зарплата, в табеле будет либо "Я", либо "Б". то и другое, естественно, в табель вы не поставите и в двойном размере этот день не оплатите. ни какого "нарушения режима" нет, нередко и на день-два-три раньше, чем больничный закроют, работники на работу выходят. ни кого еще пока за это не наказали, ни каких проблем с ФСС ни разу не возникло.
максимум, какая может возникнуть проблема - если вы за этот день и зарплату заплатите, и пособие по временной нетрудоспособности, то ФСС вам за этот день выплату пособия не возместит.

ну у него отгул будет

нет.

Если вы в день закрытия больничного едете в командировку, то это считается нарушением больничного режима. К вам не предъявят претензии страховая? А работодатель? Если они не состыкуются, то пройдет и оплата больничного и ваша командировка.

В календарных днях больничные дни считают- сутки, у вашего сотрудника в больничном написан последний календарный день больничного листа, если ему в командировку поздно вечером, то его больничный лист заканчивается в 00.00 часов текущих суток . Ночью отправте поездом/самолетом ...иначе никак.

Вопрос какой- то ИСКУСТВЕННЫЙ. Проблема в чём? оплата командировочных? Или оплата больничного? Кошельки то разные и зачем медиков подвязывать?

а можно его этим днем нанять по тр. договору?