Правомерен ли отказ работодателя? И почему?

Если был заключен всё таки именно трудовой договор на 2 месяца, то работник прав абсолютно. Тут нужно смотреть сам договор, если указана конкретная работа, срок исполнения работы, закрывается АКТом, то это ГПД (ГПХ) . Если работник ходит ежедневно на работу в указанное место, получает заработную плату в установленнные сроки, то все призники СТД.
Статья 59. Срочный трудовой договор.
Срочный трудовой договор заключается: на время исполнения обязанностей отсутствующего работника, за которым в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором сохраняется место работы; на время выполнения временных (до двух месяцев) работ;
Статья 291. Оплачиваемые отпуска .
Работникам, заключившим трудовой договор на срок до двух месяцев, предоставляются оплачиваемые отпуска или выплачивается компенсация при увольнении из расчета два рабочих дня за месяц работы.

Вы, Ева, когда будете учителю сдавать данную работу, посоветуйте ему вставить в условие задачи некоторые условия, на которых работал человек: поскольку в данном случае ответить определено нельзя - кто прав, а кто виноват. Например, как именовались стороны в данном договоре, график работы отличный от установленных в данной организации правил внутреннего трудового распорядка или нет, работал он за зарплату или вознаграждение и пр.
Правильный ответ у Сергея Кошелева, но он все равно условный, поскольку начинается со слова "если", т. к. в задаче нет точных условий. Но может быть учитель так и планировал, что нужно дать два ответа на данную задачу, что если это заведомо трудовой договор по условию, то работник прав, если никаких дополнительных пояснений нет, то либо прав один, либо второй.

Так договор-то какой? Трудовой или оказания услуг? От этого ответ зависит.

на каком основании вы просите отпуск? при заключение трудового договора все это должно быть прописано на каких условия данный договор заключается между сторонами. в том числе компенсации и предоставление отпуска так же должно быть прописано, читайте договор. у Вас заключен срочный договор с работодателем, в данном случае компенсация или предоставление отпуска маловероятна.