как проверить, являюсь ли я сотрудником организации, или нет

да, конечно при приеме на работу нужно получить второй экземпляр трудового договора
При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе
Прием на работу оформляется приказом (распоряжением) работодателя, изданным на основании заключенного трудового договора. Содержание приказа (распоряжения) работодателя должно соответствовать условиям заключенного трудового договора.
Приказ (распоряжение) работодателя о приеме на работу объявляется работнику под роспись в трехдневный срок со дня фактического начала работы. По требованию работника работодатель обязан выдать ему надлежаще заверенную копию указанного приказа (распоряжения).
Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.
Так что, если при оформлении на работу ты активно везде расписывался и у тебя после этого нет ни одного документа на руках, то недобросовестный работодатель может заявить, ссылаясь на твои подписи, что ты все свои экземпляры и копи уже получил.
И все же пока не поздно и если тебе позволяет твоя профессиональная квалификация, требуй трудовой договор и приказ о приеме на работу

сразу договор просить

По результатам года в личном кабинете налоговой
будет выплата вашего подоходного за вас светиться НДФЛ
Если результаты обновляются часто то и чаще