Возможен ли больничный?

Как видите Ваш случай не подходит. Вам придётся договариваться о предоставлении ежегодного отпуска или оформлять за свой счёт.
Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 31.12.2014) "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством"
Статья 5. Случаи обеспечения пособием по временной нетрудоспособности.
1. Обеспечение застрахованных лиц пособием по временной нетрудоспособности осуществляется в случаях:
1) утраты трудоспособности вследствие заболевания или травмы, в том числе в связи с операцией по искусственному прерыванию беременности или осуществлением экстракорпорального оплодотворения (далее - заболевание или травма);
2) необходимости осуществления ухода за больным членом семьи;
3) карантина застрахованного лица, а также карантина ребенка в возрасте до 7 лет, посещающего дошкольную образовательную организацию, или другого члена семьи, признанного в установленном порядке недееспособным;
4) осуществления протезирования по медицинским показаниям в стационарном специализированном учреждении;
5) долечивания в установленном порядке в санаторно-курортных организациях, расположенных на территории Российской Федерации, непосредственно после оказания медицинской помощи в стационарных условиях.
2. Пособие по временной нетрудоспособности выплачивается застрахованным лицам при наступлении случаев, указанных в части 1 настоящей статьи, в период работы по трудовому договору, осуществления служебной или иной деятельности, в течение которого они подлежат обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством, а также в случаях, когда заболевание или травма наступили в течение 30 календарных дней со дня прекращения указанной работы или деятельности либо в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования.

Больничный берут не на работе, а в медицинском учреждении. Где будете делать операцию, там и спросите, выдают ли они листки нетрудоспособности в вашем случае. Если не выдают - берите отпуск.