Работница 68 л увольняется и требует, чтобы сделали запись в трудовой книжке "В связи с выходом на пенсию"? Правильно?

Если работник написал заявление об увольнении в связи с выходом на пенсию, то работодатель такую запись и делает в трудовой, но сначала указывает пункт 3 статьи 77, а уже в скобках может дополнить про выход на пенсию. Прочтите статью 80 Трудового кодекса

А что ей даст такая запись?

Нет, достаточно ТРУДОВОЙ ДОГОВОР РАСТОРГНУТ ПО ИНИЦИАТИВЕ РАБОТНИКА

5.6. При расторжении трудового договора по инициативе работника по причинам, с которыми законодательство связывает предоставление определенных льгот и преимуществ, запись об увольнении (прекращении трудового договора) вносится в трудовую книжку с указанием этих причин. Например: "Уволена по собственному желанию в связи с переводом мужа на работу в другую местность, пункт 3 статьи 77 Трудового кодекса Российской Федерации" или "Уволена по собственному желанию в связи с необходимостью осуществления ухода за ребенком в возрасте до 14 лет, пункт 3 статьи 77 Трудового кодекса Российской Федерации".

так она "увольняется", или "увольняется в связи с выходом на пенсию". Сначала надо правильно заявление написать, а потом требовать

Нет. Такую запись отменили. Запись делается по факту - если работник сам написал заявление, то и запись будет - по собственному желанию.

Если работник уже достиг пенсионного возраста, он вправе уволиться в любой день в связи с выходом на пенсию, написав заявление об увольнении. И работодатель будет обязан уволить его в такой ситуации в тот день, о котором он просит, без отработки. Это льгота, преимущество. В трудовой книжке работника в таком случае формулировка "Трудовой договор расторгнут по инициативе работника... " должна быть дополнена причинами увольнения (п. 5.6 Инструкции по заполнению трудовых книжек обязывает указывать причину, с которыми законодательство связывает предоставление определенных льгот и преимуществ).

Такой формулировки увольнения нет. Все записи вносятся в соответствии с ТК РФ.