Устроился в компанию, перед увольнением вдрызг разругался с директором, итог - в трудовую записали, что уволен за прогул

уволить человека "по статье" - это тот ещё геморрой.
в вашем случае: если бы ВДРУГ действительно прогуляли, с вас ОБЯЗАНЫ были взять письменное объяснение написанное ВАМИ и с ВАШЕЙ подписью, и уже на основании этого объяснения объявить выговор или уволить. поскольку объяснения вашего у администрации нет смело идите и пишите заявление в трудовую инспекцию - вас уволили незаконно. трудовая наложит штраф от 3 до10 тыс, могу ошибаться и обяжет их восстановить на работе выплатив деньги за вынужденный прогул.
если вы хотите их "наказать":

заявление в инспекцию по охране труда по всем нарушениям техники безопасности, которые вам известны. прелесть этой инспекции в том, что там штраф в полмиллиона не является чем-то из ряда вон выходящим ))) и плюс на устранеие всех нарушений - тоже нужны деньги

заявление в роспотребнадзор о всех фактах нарушения правил торговли, оказания услуг, нарушения кассовой дисциплины и пр.

заявление в прокуратуру по факту незаконного увольнения

заявление в пожарную инспекцию по всем известным фактам нарушения пожарной безопасности (нет планов эвакуации, отсутствуют огнетушители и пр.)

заявление в налоговую если сможете привести факты уклонения от налогов, обналички, серой зарплаты
два совета:
1. нет фактов - не пишите
2. наймите адвоката - это окупится

начинается всё с написания претензии работодателю

Работодатель должен был сфальсифицировать определенный пакет документов для обоснования увольнения. Если он этого не сделал, то в судебном порядке можно признать основания для увольнения незаконным и признать недействительной запись в трудовой книжке об увольнении на основании пункта 6 статьи 81 ТК РФ.

а выколи ему глазик... :)))

В трудовом договоре прописан режим работы? С приказом об увольнении ознакомили? Выдали на руки заверенную копию приказа? Если нет, для начала запросите его у работодателя на основании статьи 62 ТК РФ (номер и дата приказа должен быть указан в трудовой).
Когда будет ясна информация по вышеуказанным пунктам, тогда можно говорить дальше. Иначе работодатель, в случае подачи Вами иска в суд, предоставит всевозможные акты: об отсутствии на рабочем месте, об отказе дать объяснительную, табели учета рабочего времени с отметкой о прогуле, и Вам будет отказано в удовлетворении требований по иску.

увольнение за прогул очень специфично в плане пакета документов
с вас запросили объяснительную? вы ее дали?

Оспорьте запись -в Трудовой инспекции помогут

Если они нормально прогул не оформили, то может что-то и получиться

у моего дяди тоже так было на начале карьеры) тогда и зарплаты ни одной копейки не дали. он судился, но так и ничего не доказал, сжёг потом ту трудовую

Вам нужен хороший адвокат, тогда можно будет попробовать.