увольнение сотрудника

Заявление писал? Если писал и был допущен к работе, то факт трудовых отношений имеется.

Срочный трудовой договор можно оформить если только в заявлении работника указана просьба принять его на работу по такому догвоору. Если нет то и договора такого не должно быть.

Работника лучше уволить за прогулы, а как? То смотрите гл. 30. ТК РФ

Вам в первую очередь влетит за неоформление трудовых отношений в письменном виде.
Надеюсь, Вы ведете табель учета рабочего времени, в нем-то Вы и должны проставлять НН этому сотруднику с момента невыхода на работу. Сделайте докладные записки от начальника или коллег этого работника на имя Директора организации.
Затем, в адрес места регистрации отправьте требование явиться на работу и предоставить объяснения неявки, укажите, что в противном случае к работнику может быть применено дисциплинарное взыскание в виде ______ (замечание, авыговор, увольнение за прогул) . Укажите срок, в течение которого работник обязан предоставить объяснения в письменном виде - 3 дня. Требование отправьте телеграммой либо по почте ценным письмом с уведомлением и описью вложения.
По истечении 3х дней, если не предоставить объяснения и не явится на работу, можно подготовить приказ об увольнении. Опять же, об этом необходимо уведомить работника! В день издания приказа ОБЯЗАТЕЛЬНО отправьте требование явиться за трудовой книжкой (иначе будете оплачивать задержку ее выдачи)

Уволить по статье за прогулы

Если ему приспичит, то он может подать иск в суд о восстановлении на работе и 100% выиграет! Необходимо все документы оформлять своевременно.

Интересно у вас сотрудников на работу принимают! Если он не предоставил трудовую книжку, то доказать факт того, что он у вас работал будет крайне сложно (практически невозможно) , т. к. приказа о приеме нет, в трудовой записи нет. То что вы задним числом оформили договор и приказ - не поможет, т. к. там нет подписи сотрудника.
Интересно: нет приказа о приеме, заявления, трудовой - за что ему деньги платили?