Помогите решить задачу по правоведению. Хочу предупредить ситуация вымышленная.

Нет, по 2м причинам:
Инструкция по охране труда для электросварщика
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.
1.1. К электросварочным ручным работам допускается персонал не
моложе 18 лет.
ч. 3 ст. 63 ТК
С согласия одного из родителей (попечителя) и органа опеки и попечительства трудовой договор может быть заключен с лицом, получающим общее образование и достигшим возраста четырнадцати лет, для выполнения в свободное от получения образования время легкого труда, не причиняющего вреда его здоровью и без ущерба для освоения образовательной программы.

Нет.
Кстати, автору задачки передайте привет и пожелание посетить психиатра.
Где это, блин, видели мальчугана-сварщика в 14 лет?

Нет. Я и сам лет с 13 работал летом в колхозе, но всё оформляли на мать. А где-то лет с 17 стали оформлять всё на меня.

А потом мальчик пошел просить работу бармена.

ТК РФ, Статья 63. Возраст, с которого допускается заключение трудового договора
Заключение трудового договора допускается с лицами, достигшими возраста шестнадцати лет, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом, другими федеральными законами.
(в ред. Федеральных законов от 23.07.2013 N 204-ФЗ, от 01.12.2014 N 409-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
Лица, получившие общее образование или получающие общее образование и достигшие возраста пятнадцати лет, могут заключать трудовой договор для выполнения легкого труда, не причиняющего вреда их здоровью.
(часть вторая в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
С согласия одного из родителей (попечителя) и органа опеки и попечительства трудовой договор может быть заключен с лицом, получающим общее образование и достигшим возраста четырнадцати лет, для выполнения в свободное от получения образования время легкого труда, не причиняющего вреда его здоровью и без ущерба для освоения образовательной программы.
(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 02.07.2013 N 185-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
В организациях кинематографии, театрах, театральных и концертных организациях, цирках допускается с согласия одного из родителей (опекуна) и разрешения органа опеки и попечительства заключение трудового договора с лицами, не достигшими возраста четырнадцати лет, для участия в создании и (или) исполнении (экспонировании) произведений без ущерба здоровью и нравственному развитию. Трудовой договор от имени работника в этом случае подписывается его родителем (опекуном). В разрешении органа опеки и попечительства указываются максимально допустимая продолжительность ежедневной работы и другие условия, в которых может выполняться работа.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)