Нужно сходить в больницу на приём, но начальник не отпускает с работы как быть?

Если у вас нетрудоспособное по мед. стандартам состояние, вы можете просто взять и покинуть рабочее место, обратившись за медпомощью - по результату будет оформлен больничный лист или же выдана справка об оказании вам педпомощи, что образует уважительную причину отсутствия на рабочем месте (скорая помощь справок не выдает, но можно узнать сведения о бригаде, пока медики вами занимаются, и запросить справку постфактум).
Если речь о прохождении обследования и (или) комплекса процедур, не требующих помещения на амбулаторный режим (т. е. без больничного), то достаточно предписания врача и направлений на обследование/процедуры (в конкретное время, конкретной дислокации) - это также уважительная причина отсутствия на рабочем месте, а равно, и основание для перерасчета начисленной оплаты труда (при условии, конечно, что учет рабочего времени ведется об'ективный).

ТК РФ не установлено право работников заниматься личными делами в рабочее время, если вы больны, значит идете к врачу и вам открывают больничный лист. а всяческие осмотры и консультации - в свободное от работы время, отпускать вас для этого с работы работодатель не обязан.
понятия "отгул" в ТК РФ вообще не существует, а отпуск без сохранения зарплаты может быть предоставлен на усмотрение работодателя,

Вызови скорую, приплати. Они увезут.

Идешь в больницу, открываешь больничный лист.

Отпуск или дни за свой счёт вы можете взять только с позволения руководства. Но, если вы действительно больны, берите больничный лист и обследуйтесь сколько вам угодно.

Раком надо ставить таких идиотов

С точки зрения ТК РФ, ваш начальник прав. Про директор то если это прям отгул за отработанное ранее время, то вы имеете право его взять в удобное вам время, а если это отпуск без содержания, то директор имеет полное право отказать. Все "отпросилки" это дело внутреннее и официально никак ТК не регламентируется.