Какие действия предпринять, если положен отпуск, а начальник не отпускает? Не подписывает заявление.

покажите ему вашу аву, кивните что согласны

Заболеть...

Купи больничный.
Перед этим предупреди, что если не отпустит-все равно на работе тебя не будет, так что пусть по-хорошему отпускает.
А еще лучше, это пойти в отпуск, а в отпуске на больничный....
Красота, отпуск удлинняется на время больничного...

найти того, кто будет вас заменять и с ним уже нести заявление на отпуск

Отпуск положен по графику? Тогда все просто. Напишите заявление и вышлите его почтой с описью и уведомлением о вручении. И устно сообщите руководству, что ст. 123 ТК РФ устанавливает обязательность соблюдения графика не только в отношении работника, но и работодателя.

Если отпуск по графику, то работодатель обязан его соблюдать. Не понятно, какой начальник Вас придерживает, но если это не директор, то права он не имеет. Кадровые вопросы решает только работодатель. Пишите заявление и идите за отпуском к нему.

Выяснить причину отказа, если действительно есть важные не законченные дела - лучше потерпеть и доработать, если же просто "бздык" начальника, а для Вас принципиальны даты, не подавая вида, что расстроены отказом, аккуратненько уходите на больничный с расстроенным видом, что придется теперь находиться без любимой работы!) В любом случае - плевать против ветра не лучший вариант, все надо делать обдуманно и красиво!

По-моему, если график отпусков был утвержден, то никакого заявления не надо, если уходите в отпуск согласно графику!
В вашем случае, я бы выяснил сначала причины отказа и попытался их самостоятельно устранить