Имеет ли право работодатель вносить дополнения в трудовой договор и требовать их (дополнений) подписания?

Если работник не согласен - то предупреждение об изменении за 2 месяца, потом увольнение.
Если согласен - подписывай.

Естественно, может. Но, весь вопрос в том, что за изменения?

Да.

Изменение определенных сторонами условий трудового договора допускается ТОЛЬКО по соглашению сторон трудового договора, за исключением случаев, когда по причинам, связанным с изменением организационных или технологических условий труда (изменения в технике и технологии производства, структурная реорганизация производства, другие причины), определенные сторонами условия трудового договора не могут быть сохранены.

Имеет право вносить изменения.
Имеешь право не подписывать.

если вы никаких дополнений и соглашений не пописывали, то и не исполняйте.

Статья 74 ТК РФ
В случае, когда по причинам, связанным с изменением организационных или технологических условий труда (изменения в технике и технологии производства, структурная реорганизация производства, другие причины), определенные сторонами условия трудового договора не могут быть сохранены, допускается их изменение по инициативе работодателя, за исключением изменения трудовой функции работника.
О предстоящих изменениях определенных сторонами условий трудового договора, а также о причинах, вызвавших необходимость таких изменений, работодатель обязан уведомить работника в письменной форме не позднее чем за два месяца, если иное не предусмотрено настоящим Кодексом.
Если работник не согласен работать в новых условиях, то работодатель обязан в письменной форме предложить ему другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу), которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором.
При отсутствии указанной работы или отказе работника от предложенной работы трудовой договор прекращается в соответствии с пунктом 7 части первой статьи 77 настоящего Кодекса (отказ работника от продолжения работы в связи с изменением определенных сторонами условий трудового договора).
А теперь решайте, стоит соглашаться или отказываться, сами

может, он хозяин