назначить и взыскать штраф с работника

Привлечение работника к материальной ответственности регулируется гл. 39 ТК РФ, рекомендую прочитать - там не очень много букв http://tkodeksrf.ru/ch-3/rzd-11/gl-39

Законность/незаконность такого "штрафа" (возмещения ущерба) зависит от многих обстоятельств:
1)от должности и вида деятельности работника (м. ответственность некоторых работников регулируется отдельными ФЗ),
2)"штраф" не должен превышать ср. месячной зарплаты работника (если отсутствуют основания для привлечения к полной мат. ответственности - исчерпывающий их перечень перечислен в ст 243 ТК РФ)
3) Возмещению подлежит только прямой действительный ущерб (фактическое уменьшение имущества работодателя) - упущенная выгода взысканию не подлежит.
4)Ущерб должен быть следствием виновных действий/бездействия работника.
5) отсутствуют обстоятельства исключающие мат. ответственность работника (указанные в ст. 239 ТК РФ)
6) До принятия решения о возмещении ущерба конкретными работниками работодатель обязан провести проверку для установления размера причиненного ущерба и причин его возникновения, и истребовать от работника письменного объяснения для установления причины возникновения ущерба. Работник и (или) его представитель имеют право знакомиться со всеми материалами проверки... ст 247 ТК РФ.
7) Взыскание с виновного работника суммы причиненного ущерба может быть сделано не позднее одного месяца со дня окончательного установления работодателем
размера (!) причиненного работником ущерба. Если месячный срок истек или работник не согласен добровольно возместить причиненный работодателю ущерб, а сумма причиненного ущерба, подлежащая взысканию с работника, превышает его средний месячный заработок, то взыскание может осуществляться только судом. (ст. 248 ТК РФ)

При несоблюдении работодателем установленного порядка взыскания ущерба работник имеет право обжаловать действия работодателя в суд - ст. 248 ТК РФ

Даже на испытательный срок должен заключаться договор или контракт, где должны быть прописаны обязанности сотрудника, и в том числе и предупреждения о штрафах и вычетах. Если такой договор у вас есть, то можете смело обращаться в трудовую инспекцию или в суд.

Что в трудовом договоре написано, то и должно делаться.

Штрафы трудовым законодательством не предусмотрены.
За такую самодеятельность работодателя можно привлечь к административной ответственности.

никак

Если не будет оплаты в день увольнения - можно сразу же обратиться в трудовую инспекцию, например.

Такое возможно, только в случае если действия сотрудника нанесли прямой материальный ущерб организации, но тут еще надо смотреть, что за договор га испытательный срок и другие нюансы.

Даже на испытательный срок должен заключаться договор или контракт, где должны быть прописаны обязанности сотрудника, и в том числе и предупреждения о штрафах и вычетах. Если такой договор у вас есть, то можете смело обращаться в трудовую инспекцию или в суд.