Работник работает в организации несколько лет, свои должностные обязанности выполняет в полном объёме, взысканий не

Могут, но только в том случае, если выполнение работы требует специальных знаний в соответствии с федеральным законом или иным нормативным правовым актом.
В порядке ст. 84 ТК РФ должны предложить другую работу, соответствующую квалификации, либо в случае отказа уволить с выплатой среднемесячного заработка.

Я был работником, работавшим на работе, выполнявшим работу в фирме практически со дня основания. Участвовал в росте фирмы, но профильного образования НЕ ИМЕЛ. Пришло время выхода фирмы на новый уровень - лицензированное исполнение работ. Для лицензии нужен штат из КВАЛИФИЦИРОВАННЫХ инженеров ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ. Естественно, что владелец стал настаивать, чтобы работники стали получать профильное образование и набирать специалистов. А я уже был старый, чтобы учиться. Мне было за 50. Взял я себе молодого парня в ученики, научил всему, парень поступил в строительную академию... Толковый парень. Старательный и ответственный. Я рад за фирму, что она приобрела такого специалиста. Ушёл со спокойной совестью.

Смотря, кем работает работник. Действуют ли в организации профстандарты. Аттестовывался ли работник по своей должности.

Существуют Единые квалификационные справочники http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_97378/ которые устанавливают требования к сотрудникам (в том числе образование и стаж работы в той или иной должности). На основании этих справочников предприятие закладывает требования к сотрудникам в свои нормативные документы (коллективные договоры, штатное расписание...).
Если вас приняли на эту должность, с имеющимся у вас образованием, то просто так уволить не смогут. Половина страны работает не по специальности, и что всех увольнять?