Можно ли закрепить за работником должностные обязанности если их в момент заключения трудового договора вообще не было?

Устное зключение договора - это пустое место. Значит договора не существует до сих пор. Существует устная договорённость, а её к делу не пришьёшь. В данном случае администрация в праве поступать на своё усмотрение !

Юрий) должн. инструкция это локально-нормативный акт и в соответствии с ТК РФ с ДИ, как и со всеми остальними ЛНА, Вас должны ознакомить ДО момента подписания с Вами трудового договора. Ввести ДИ поже можно, только с УЖЕ существующим нарушением ТК РФ по срокам ее подписания, число Утверждения ДИ должно быть текущим на день Утверждения, а не "задним на день вашего приема" , но у вас есть право ее НЕ подписывать и НЕ знакомиться с ДИ. Работодатель составит Акт об отказе ознакомиться с ДИ, не подписывайте и не знакомьтесь с ним, работодатель составит второй АКТ об отказе ознакомиться с первым не подписывайте и не знакомьтесь. )
"Закрепить обязанности"- можно оформив временный перевод (ваше согласие НЕ требуеться) либо совмещение т. е. увеличение объема -увеличение ЗП либо совместительство, но второй и третий вариант только с вашего согласия.
Правда на вашей стороне.

Это не может считаться трудовым договором. Любые договора имеют утвержденную форму, где расписываются права и обязанности всех сторон. Отсутствие трудового договора или любых других обязательных документов как должностная инструкция - серьезное нарушение трудового законодательства.