При заключении трудового договора о работе по совместительству со слесарем Тучкиным администрация организации потребовал

Незаконны. Работодатель при приеме на работу совместителя обязан потребовать от него документы, указанные в ст. 283 ТК РФ. Перечень этих документов отличается от документов, предъявляемых при заключении основного трудового договора. Так, не требуется предъявлять трудовую книжку, документы воинского учета.
Основной документ, предъявляемый работодателю, - паспорт или иной документ, удостоверяющий личность. В тех случаях, когда при приеме на работу по совместительству требуются специальные знания, работодатель имеет право потребовать от работника предъявления диплома или иного документа об образовании или профессиональной подготовке либо их надлежаще заверенные копии.
Представление справки о разрешении работать по совместительству с основного места работы законом не предусмотрено.

Не законны. Запись в трудовую книжку о работе по совместительству делается по желанию работника, а работать работник может в свободное от основной работы время.

Забыли указать ВУЗ. Везде ж по-разному закон трактуют

Статья 283. Документы, предъявляемые при приеме на работу по совместительству

При приеме на работу по совместительству к другому работодателю работник обязан предъявить паспорт или иной документ, удостоверяющий личность. При приеме на работу по совместительству, требующую специальных знаний, работодатель имеет право потребовать от работника предъявления диплома или иного документа об образовании или профессиональной подготовке либо их надлежаще заверенных копий, а при приеме на тяжелую работу, работу с вредными и (или) опасными условиями труда - справку о характере и условиях труда по основному месту работы.