Увольняюсь с госслужбы, хочу взять отпуск с последующим увольнением.

Хотеть Вы конечно можете, а вот его предоставление полностью на усмотрение работодателя.
ТК РФ Статья 127. Реализация права на отпуск при увольнении работника
...
По письменному заявлению работника неиспользованные отпуска могут быть предоставлены ему с последующим увольнением (за исключением случаев увольнения за виновные действия). При этом днем увольнения считается последний день отпуска.
....
1. Если работодатель согласится на его предоставление, то с Вами произведут полный расчёт и выдадут все документы в последний рабочий день перед отпуском.
2. Нет, т. к. днём увольнения считается последний день отпуска и это будет отражено в ТК.
Так что трудоустройство возможно только после его окончания.
Конечно в жизни бывают случаи, что работник обманывает работодателя или обманывается сам, соответственно обещает принести ТК позже и его оформляют. Естественно этим работник себе уже наживает негатив со стороны руководства и кадров. В принципе это не самое серьёзное нарушение и ищут их не часто. Но серьёзные организации, без предоставления и изучения Вашей ТК оформлять не будут.
Само по себе пересечение дат в ТК не ведёт к негативным последствиям для работника, а стаж будет учтён один раз.
В общем этот отпуск на данный момент не нужен ни работнику который ищет новую работу ни работодателю, поскольку он не сможет принять нового работника, а посему давно устарел и практически не применяется.

можешь не брать отпуск. весь не отгуленный оплатят и так.

молодец! я думаю ты правильно всё делаешь