В какой форме заключается трудовой договор с педагогом??

Любой договор включает в себя: 1 - Требования (задание) ЗАКАЗЧИКА, то есть в данном случае - ученика, с указанием срока и качества выполнения работ (полученных знаний) . При желании Вы (ученик) можете доказать, что ничего в результате занятий не получил. И попробуй, докажи. 2-Взамен полученного результата (за работу) Вы берете на себя обязательство -выплатить исполнителю (учителю) определённую сумму, которая оговаривается выми с исполнителем до подписания договора. 3 - подрядчик (исполнитель) берёт на себя обязанность за определённый (согласованный меж вами) срок выполнить определённый объём работ.
А далее идут тонкости о режиме и месте занятий, о документе (акте выполненных работ) по которому заказчик обязуется выплатить оговоренную сумму. Об ответственности сторон (если виноват ученик, то плата не отменяется) . Можно оговорить и другие условия, но это вот основные. В конце договора, составленного в двух или трёх экземплярах, стороны расписываются с указанием даты их подписи. Желательно привлечь третью сторону (Заказчиком может выступить кто-нибудь из родителей, исполнитель, естественно, учитель, а третья сторона - ученик, заинтересованный в получении качественных знаний).

Простая письменная форма с надлежащими печатями и подписями.

В письменной форме!

Статья 332. Особенности заключения и прекращения трудового договора с работниками высших учебных заведений (Трудовой кодекс)

Статья 67. Форма трудового договора (Трудовой кодекс)

В такой же, как и с грузчиком, продавцом, водителем и т. д. , в письменной в двух экземплярах, один у работодателя, другой у работника.