Должен ли я отработать 2 недели и писать заявление об уходе с этой работы, если:...

Вы - слишком глупый! Извините за прямоту.
Вы сначала определитесь трудовые отношения установлены или нет. Если установлены, то заявление о расторжении трудового договора Вы обязаны подать за две недели до увольнения. Если трудовые отношения не установлены, то Вы можете такое заявление и не писать. Но в таком случае, что Вы заводите речь о деньгах? Вы же не исполняли трудовые обязанности.
Альтернатива. Это закон. Трудовой договор заключается в письменной форме, если трудовой договор не был заключен в письменной форме, а работник с согласия работдателя приступил к выполнению трудовых обязанностей, трудовой договор считается заключенным. При таких обстоятельствах, работник вправе обратиться в суд с иском о возложении обязанности заключить трудовой договор в письменной форме и взыскании задолженности по оплате труда, в доказательство приложить документ и ЦЗН, которым будет подтверждено, что по этой вакансии работдатель обещал заработную плату в размере 20671руб.

Приказ о приеме на работу был оформлен?

на Госуслугах запроси инфу из Пенсионного фонда - есть на тебя вообще отчисления или нет

Раз не оформлек то не выходи больше да и все.... правда и не получишь ничего скорей всего

Ты же халоп тебе и так пойдет

По сути- хотите морочиться, лезьте во все законы, авось что-то наскребете. Ел не было трудового договора с указанием заплаты- то спорить бесполезно. Если первые 3 месяца не проработали, работодатель легко себя защитит и оправдает. Хотите отомстить? Станьте для них незаменимым сотрудником. А потом найдите конкурента и уходите к нему.

Ничего. Вот так кидают лохов