Могут ли по закону уволить(а не сократить) человека, если его должность сокращена, а на понижение он не согласен?

просто уволить нельзя!
Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:
1) ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем;
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
2) сокращения численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя;
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
3) несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;
(п. 3 в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ) и т. д... .
Увольнение по основанию, предусмотренному пунктом 2 или 3 части первой настоящей статьи, допускается, если невозможно перевести работника с его письменного согласия на другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу) , которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором.
(часть третья в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
В случае прекращения деятельности филиала, представительства или иного обособленного структурного подразделения организации, расположенного в другой местности, расторжение трудовых договоров с работниками этого подразделения производится по правилам, предусмотренным для случаев ликвидации организации.
(часть четвертая в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Только по сокращению или по соглашению сторон - договоритесь (и зафиксируйте это в Соглашении о расторжении ТД) о дополнительных выплатах - может работник и согасится.

Могут. ст74, ст. 77 п. 7, ст. 180 ТК

Могут, нол именно по сокращению.

Я думаю нет - без согласия работника, поскольку при сокращении обязаны предоставить должность не ниже той в которой находится работник, либо сократить - по Тк.