Могут ли по закону уволить сотрудника без выплачивания зарплаты?

Не могут. Если работник увольняется, то как минимум необходимо произвести расчет за фактически отработанные дни до дня увольнения и выплатить компенсацию за неиспользованный отпуск (если на момент увольнения не отгулял ежегодный оплачиваемый отпуск) (ст. ст. 127, 140 ТК РФ) .
Но возможны случаи, когда работник брал аванс или у него есть денежные обязательства, например, исполнительные листы.

если работник хоть что-то заработал - обязаны выплатить, вот если прогулял - то ...

в силу положений статей 4, 22, 140, 157 тк рф: принудительный труд запрещен; работодатель обязан предоставлять работникам работу, обусловленную трудовым договором; выплачивать в полном размере причитающуюся работникам заработную плату в установленные сроки; выплата всех сумм, причитающихся работнику от работодателя при прекращении трудового договора, производится в день увольнения работника. .

из названных норм следует, что уклонение работодателя от оплаты за труд, в том числе и при увольнении, можно и должно расценивать как рабский труд..

Статья 84.1 ТК РФ. Общий порядок оформления прекращения трудового договора
В день прекращения трудового договора работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку и ПРОИЗВЕСТИ с ним расчет в соответствии со статьей 140 настоящего Кодекса. По письменному заявлению работника работодатель также обязан выдать ему заверенные надлежащим образом копии документов, связанных с работой.

Нет, но обстоятельства могут быть разные.

Бз выплаты зарплаты- нет

Уволить без зарплаты не могут. Но нужно учитывать все обстоятельства. Обычно при увольнении к зарплате не начисляется премия, находят причины для взысканий ...и т. д.

Нет. Должны рассчитаться полностью. В том числе и по авнсовым отчетам, и по прочим долгам сотруднику, если таковые есть.