Возможно ли (с юридической точки зрения) брать отпуск, если не был заключен трудовой договор?

У Вас не заключён трудовой договор, соответственно нет взаимных прав и обязанностей, работодатель Вам ничего не должен, как и Вы ему, можете делать, что хотите .

С юридической точки зрения, ты там не работаешь

Если нет трудового договора, то и взаимных обязанностей нет.

Вы идиот? Или что помешало прочитать ТК РФ про трудовой договор. Узнали бы, что если Вы приступили к работе трудовой договор считается заключенным

Юридическая наука не отрицает реальности, трудовое законодательство в Российской Федерации (РФ) - тоже не отрицает реальности.
С точки зрения законодателя, принявшего ФЗ "Трудовой кодекс РФ" (ТК РФ), если не заключён трудовой договор (ТД), реально брать ежегодный оплачиваемый отпуск, который предоставляется работодателем уже после шести месяцев работы у него работника, однако, бывает, не просто "реальность брать такой отпуск", (реальность) прописанную в ФЗ "ТК РФ" "воплотить" в жизнь.
Реальность брать такой отпуск, прописанную законодателем в ФЗ "ТК РФ", не просто "воплотить" в жизнь ввиду того, что отпуск, как говорится в этом законе, предоставляется работодателем (по заявлению работника).
К взаимному согласию (брать и предоставлять отпуск без заключения ТД) следует работнику опираться, во-первых, на главу 2 "Трудовые отношения, стороны трудовых отношений, основания возникновения трудовых отношений" ТК РФ, а работодателю не уклоняться от прописанной законодателем реальности брать ежегодный оплачиваемый отпуск (ему же не следует уклоняться от заключения ТД с работником, когда законодатель считает, что трудовые отношения у этих сторон возникли и без ТД).
Да, возможно брать (ежегодный оплачиваемый) отпуск, опираясь на статью 16 этой (второй) главы ТК РФ, согласно которой (статья цитируется) " трудовые отношения ...возникают ...на основании фактического допущения работника к работе ...в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен". ТД не был надлежащим образом оформлен и тогда, когда его нет (он не заключён), однако это не отменяет обязанность работодателя предоставлять работнику ежегодный отпуск.