Можно ли в трудовом договоре прописать что сотрудник трудоустратвается со своим оборудованием

в договоре можно прописать всё, что не противоречит законодательству, а тут я противоречий не вижу

В договоре можно написать все что угодно, типа как пишут в автошколах занятие считается проведенным если ученик отсутствовал (причина отсутствия не так уж и важна, но они провели его с ним ) так как сумма не большая и понятно что по судам ходить никто не будет, но есть обязанности ученика, а еще самое страшное обязанности образовательного учереждения ( когда получали лицензию в профильном министерстве ) и там все расписанно подробно
В вашем случае Невозможно, так как мин труд тоже все расписал обязонности работника и рабоьлжателя а это считается как федеральный закон

Невозможно, в силу перечня обязанностей работодателя из ст. 22 ТК РФ.

ТК РФ намного меньше даже первой части ГК РФ...
Дважды прочитаете, все наиболее значимые нормы запомните, остальные - запомните, где именно их следует искать...

уволили потому что свой шуруповерт дома забыл

В соответствии со ст. 188 Трудового кодекса Российской Федерации при использовании работником с согласия или ведома работодателя и в его интересах личного имущества работнику выплачивается компенсация за использование, износ (амортизацию) инструмента, личного транспорта, оборудования и других технических средств и материалов, принадлежащих работнику, а также возмещаются расходы, связанные с их использованием. Размер возмещения расходов определяется соглашением сторон трудового договора, выраженным в письменной форме.
То есть, использование работником собственного имущества может быть предусмотрено трудовым договором.
Положениями ст. 81 Трудового кодекса Российской Федерации предусмотрены основания для расторжения трудового договора по инициативе работодателя, в перечне которых отсутствуют причины, связанные с отсутствием у работника такого имущества при выходе на работу.
Таким образом, увольнение по указанному основанию будет незаконным и может быть оспорено работником в суде. Удачи!