Куда эффективней обращаться при нарушении работодателем прав работника в инспекцию по труду или в суд?

Все зависит от результата, который Вы хотите получить и вопроса, который рассматривается.
Решение суда обязательно для исполнения, и если Вас неправильно уволили, по решению суда вас не только восстановят на работе, выплатят з/п за весь период вашего отстранения от работы, но могут (если вы потребуете) выплатить вам и моральную компенсацию.
Обратясь по этому же поводу в инспекцию по труду, вы сможете добиться только того, что инспекция выпишет предписание предприятию с требованием устранения допущенного ними нарушения и оштрафует в пользу государства. При этом это предписание не обязательно к исполнению, предприятие проигнорировав его рискует получить разве что еще один штраф и очередное предписание (и так может длиться практически до бесконечности) . По личному опыту знаю, что с инспекторами инспекции по труду работадателю очень легко договориться.
Если же вопрос, по которому у вас возник спор с вашим предприятием не столь принципиален, как восстановление на работе, то рекомендую вначале обратиться в комиссию по трудовым спорам на предприятии, прежде, чем выносить сор из избы.

сначала в инспекцию, затем в прокуратуру и в суд.

суд долго но 100%
инспекция по труду быстрее, но не 100%

Я советую сразу в инспекцию, в суд и в прокуратуру.

Сначала в инспекцию

Если вы считаете, что ваши права нарушены, но с работодателем договориться не удалось, смело обращайтесь в инспекцию. Приняв от вас заявление, письмо или жалобу, инспекция обязательно примет меры, чтобы восстановить ваши нарушенные права. Например, инспекция может организовать проверку, выдать работодателю предписание (распоряжение) устранить нарушение. В отдельных случаях инспекция может приостановить работу организации или каких-то ее подразделений, привлечь виновных к ответственности (оштрафовать, отстранить от работы и т. д.).. В инспекции должны внимательно изучить ваше обращение, разобраться в допущенных нарушениях, принять решение и сообщить об этом вам в письменной или устной форме. Если ваше заявление будет отклонено (т. е. вы получите отказ) , инспектор должен объяснить вам причины отказа. Обычно заявление (если оно не требует специальных проверок, документов и пр. ) рассматривается безотлагательно, в крайнем случае не позднее 15 дней. В любом случае максимальный срок рассмотрения заявления или жалобы один месяц со дня поступления.
важно: Есть специальные сроки. Заявления и жалобы об увольнении инспекция рассматривает в течение 10 дней со дня их получения (ст. 373 Трудового кодекса РФ) .
Если уже инспекция не помогла. . обращайтесь в суд. Просто в суде больше заморочек.