Если я работаю по трудовому соглашению, то можно делать запись об этом в трудовой?

Что вы имеете ввиду под ТРУДОВЫМ СОГЛАШЕНИЕМ. ? Такое понятие применительно к индивидуальным правоотношениям, в законе отсутствует.
Если вы заключили с организацией договор на выполнение определённого вида работ и в штате не состоите, то это- ДОГОВОР ПОДРЯДА, он- гражданско-правовой и к трудовым отношениям отношения не имеет, поэтому ни о какой записи в трудовой книжке речи быть не может.
Если вы зачислены в штат организации на определённую должность и выполнаете работу по этой должности в соответствии с инструкцией по должности и правилами внутреннего распорядка организации, значить вы работаете по трудовому договору и состоите с организацией в трудовых отношениях. В этом случае запись в трудовую книжку вам сделать ОБЯЗАНЫ.

если написано слово "трудовой", "трудовое", суд однозначно трактует это как трудовой договор
то есть, обязательно должны быть соблюдены все условия трудового договора: стаж, запись в трудовую книжку, отчисления в соц. страх и пенсионный и т. п.
(ст. 11 и 56 ТК РФ)

Что такое трудовое соглашение? Нет такого понятия ни в трудовом, ни в гражданском законодательстве.

Если у вас всё-таки один из видов гражданско-правового договора (например, договор подряда) , то запись в тудовую книжку не вносится. Также вы не имете право на оплату больничного и отпуска.

Нет. Записи делаются только при работе по трудовому договору.

Раньше составлялся трудовой договор (например, если работал у ИП) и регистрировался в администрации города, теперь это отменили и все трудовые отношения фиксируются в трудовой книжке. Так что делать записи не только можно, но и нужно. Когда будете собирать стаж к пенсии- пригодится.

обязаны!!!

да можно

"Странникъ" дал полный и абсолютно правильный ответ!