Обязан ли сейчас работник отрабатывать какой-либо срок после написания заявления на увольнение?

Две недели. Но по соглашению сторон можно обойтись. На усмотрение администрации. Читай трудовой кодекс - там все понятно.

и да и нет

по закону осталось все как и раньше, но с руководителем можно договориться. Не со всякой работы можно быстро уйти без замены.

да, все те же 2 недели со дня подачи

2 недели

по усмотрению руководителя

1. По закону вы обязаны предупредить руководителя за две недели до предполагаемого ухода. Т. е. 1-го июня пишите заявление прошу уволить меня с 15-го июня по собственному желанию. Подпись и дата подачи 1 июня 2009. На вашем заявлении руководитель делает подпись, типа принято 1-го июня.

2. Если у вас хорошие отношения с руководителем, что вам готовы пойти на встречу и отпустить хоть завтра, или настолько плохие, что они готовы от вас избавиться хоть завтра, то приходите к нему 1-го июня и подаете заявление. Прошу уволить меня 1-го июня по собственному желанию Подпись и дата подачи 17 мая 2009. На вашем заявлении руководитель делает подпись, типа принято 17 мая 2009. И сегодня же вас рассчитывают и все отдают.

2 недели, если не на испытательном на испыт сроке 3 дня, или по соглашению как договоритесь

Смотря как договоритесь со своим руководителем.
Если без отработки, то писать заявление лучше сегодняшним числом. Если заявление будет завтрашним, то придётся день отрабатывать.
Если не договорились, то 2 недели должны отработать.

Если с руководством имеете общий язык, можно написать заявление задним числом, то есть за минусом две недели. а так порядок никто не отнимал и эти пресловутые две недели, должны отработать.