Отработал на госпредприятии пол года, обязан ли работодатель мне дать отпуск и на какой срок?

Да, право на отпуск возникает, причем на полный отпуск 28 кд. , т. к. работодатель не вправе самостоятельно делить отпуск на части, только с вашего письменного согласия. Но это отпуск авансом, поэтому при увольнении до окончания рабочего года, с вас будет удержана n-ая сумма ст. 137 ТК РФ.
Возникновение права у работника, не означает возникновение обязанности у работодателя, но должно быть веское и законное основание чтоб отказать вам, причем документально оформленное.
Например - график отпусков ст. 123 ТК РФ. Если в графике или в дополнении к графику вас нет, то шансы пойти в отпуск после 6 месяцев работы, очень возрастают, т. к. тогда отпуск предоставляется по заявлению.

Статья 122. Порядок предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков

Оплачиваемый отпуск должен предоставляться работнику ежегодно.

Право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя. По соглашению сторон оплачиваемый отпуск работнику может быть предоставлен и до истечения шести месяцев

Так что по закону имеешь право на полный отпуск, а вовсе не на половину.

Да действительно в соответствии со ст. 122 ТК РФ Вы имеете право на использование отпуска за первый год работы полностью т. е. 28 к. д. по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя. Но тут есть небольшой "нюанс", если Вы берете и отгуляете полный отпуск, и вдруг надумаете до истечения полного года работы на пердприятии уволиться, то с Вас произведут удержания при расчете за те дни которые Вы отгуляли "авансом". Вам это надо. Поэтому я бы предложил альтернативный вариант: взять полотпуска, а вторую половину отпуска отгулять после отработанного года.

Обязан, за фактически отработанное время, т. е. полотпуска.

Должен, половину от стандартного. Но многое зависит от локальных правил предприятия.