Корректно ли это предложение The boy fell down while he was running. ?

Continuous употребляется, когда одно действие либо длилось грубо говоря до, во время и после или когда оно длилось и было прервано другим, например, когда я готовил, я порезался (готовил до того, как порезался, в тот момент и прекратил) если 2 Past Simple это всегда значит, что одно действие закончилось и только потом началось второе, те в вашем примере он добежал, остановился и только потом упал. Почитайте Клементьеву, точнее проделайте упражнения и все встанет на свои места, я вам ссылку давала!

У тебя есть while, "в то время как", без зазрения ставь континьюос

совершенно верно, это два последовательных действия, но тогда while (пока) вообще не в тему. He ran while someone else fell down

все просто: одно действие: бег (процесс) прерывается другим: падение.... это правило языка, все верно: The boy fell down while he was running.

Правильно будет-The boy fell down when he was running.

The boy fell down while running.

Правильно. в тот момент, в процессе, когда он бежал, он вдруг случайно упал, ..когда выполнял это действтие - бег - в его процессе.

Предложение грамматические верно. Во всяком случае, с точки зрения узуса (что легко проверить посредством "Гугла", сохранив конструкцию, но изменив лексическое наполнение) . Например "won while playing".

А вот "корректно" ли оно? ;) На мой взгляд, нужно следовать давней народной мудрости: "Не уверен - не обгоняй. А УВЕРЕН - ОБГОНЯЙ! " Если предложение смущает - перефразируйте. Получите гораздо большее удовольствие от факта произнесения\написания того, в чём Вы не сомневаетесь. Проверено.