В каких случаях в английском языке употребляется артикль "a", а в каких "the"?

a когда речь идет о неопределенном предмете в единственном числе, the когда речь об определенном предмете единственного или множественного числа. Например, а book - просто какая-нибудь книга (неважно какая именно) , the book- книга, о которой шла речь до этого или та книга, которая подразумевается контекстом .

I see a cat. The cat is fat.

Первое упоминание - с неопред. артиклем,
следующее - с определенным.
Когда речь идет об уже известном предмете, то
артикль определенный. Кроме того, для
множественного числа - только определенный (или никакого, но на это есть спец. правила).

"а" - в единственном числе или указывающий на что-то вообще, не конкретно. give me a salt - подай мне соль (любую соль, соль вообще) . the - указывает на что-то конкретное. give me the salt - дай именно эту соль, вот эту самую.

- Отсутствие артиклей перед существительными, которые обозначают действия (в конструкциях с of может быть использован the) - Отсутствие артиклей перед существительными, которые обозначают свойства (если эти свойства не относятся к конкретному объекту) - Отсутствие артиклей перед существительными после of, которые являются атрибутами основного существительного (понятия) - Отсутствие артиклей в выражениях, используемых после with, without, in, as и at для уточнения свойств основного существительного - Отсутствие артиклей в случаях использования нескольких прилагательных или при перечислениях - Отсутствие артиклей перед существительными, используемых после to have без последующего уточнения этого существительного - Отсутствие артиклей перед существительными, которые обозначают устоявшиеся общие теории и разделы науки - Отсутствие артиклей перед именами собственными в притяжательном падеже - Отсутствие артиклей перед существительными, которые снабжены ссылками

- Неопределенные артикли в тех случаях, когда они заменяют число one - Неопределенные артикли в тех случаях, когда они выделяют какой-то объект из некоторого класса или имеют смысл some или one of - Неопределенные артикли в предыдущем случае опускаются, если соответствующие существительные используются во множественном числе - Неопределенные артикли при определении классов объектов, т. е. в тех случаях, когда существует много объектов с заданной характеристикой - Неопределенные артикли в предыдущем случае также опускаются, когда соответствующие существительные используются во множественном числе - Неопределенные артикли опускаются, если существительные, используемые во множественном числе, подразумевают не все объекты из заданного класса, а каждый из них в отдельности - Неопределенные артикли перед прилагательными, которые выделяют какую-либо из характеристик

- Определенные артикли перед существительными, которые были ранее упомянуты в тексте - Определенные артикли перед существительными, которые однозначно определены контекстом в момент использования - Определенные артикли перед существительными, которые при помощи of характеризуют другое существительное или однозначно при этом определяются - Определенные артикли перед количественными числительными - Определенные артикли перед порядковыми числительными - Определенные артикли перед именами собственными, используемыми как прилагательные - Определенные артикли перед существительными во множественном числе, которые определяют класс объектов (все объекты сразу) , а не какой-либо один объект - Определенные артикли перед существительными, которые снабжены ссылками

http://www.alleng.ru/mybook/3gram/2articl4.htm
http://ww.homeenglish.ru/Grammararticle.htm

"a" - неопределённый. Понятие вообще, в целом.
"the" - определённый. Конкретно.
a home - дом вообще, абстрактно. the home - конкретный дом.

Мария Гречаник написала:
"а" - в единственном числе или указывающий на что-то вообще, не конкретно. give me a salt - подай мне соль (любую соль, соль вообще) . the - указывает на что-то конкретное. give me the salt - дай именно эту соль, вот эту самую.

пардон, у меня не работают коментарии к коментариям, так что призодится отдельно:
неопред. артиль НЕ употребляется с неисчисляемыми сущ. (соль, сахар, вода, воздух, суп, чай, краска, дружба, любовь, сила, энергия и проч)
то есть:
GIVE ME _SALT будет без артикля.

Упоминая предмет впервые, употребляется неопределенный артикль а (an), а упоминая этот же предмет вторично ставится перед ним определенный артикль the. Определенный артикль может употребляться только с исчесляемыми сущ. , стоящими в ед. числе. а определенный артикль употребляется как с исчесляемыми, так и неисчесляемыми сущ, как в ед. так и во множ. числах.