какая разница между выражениями "хотя бы" и "по крайней мере"?

Значения словосочетаний "хотя бы" и "по крайней мере"
перекрываются.
Оба они могут вводить некоторое минимальное условие,
необходимое для чего-либо. Например:
Ему нужно набрать хотя бы (по крайней мере) двести очков,
чтобы выйти в лидеры.
Тебе следовало хотя бы (по крайней мере) извиниться. (Здесь условие
подразумевается: =чтобы всё было хорошо) .

Однако у каждого из них есть, помимо этого общего значения, ещё и
самостоятельные значения, в которых эти словосочетания НЕ
взаимозаменяемы. Назовём основные.

Хотя бы:
1) =хоть бы - модальная частица, выражающая желательность.
Хотя бы позвонил сначала!
2) =пусть - модальная частица, выражающая допущение.
А хотя бы и так!
3) =например (выражает достаточное условие) .
Вас следовало уволить хотя бы за одно это нарушение.
4) =даже если (уступительный союз) .
Хотя бы он и согласился, уже слишком поздно.

По крайней мере:
1) =как минимум (вводное словосочетание) .
По крайней мере, я буду знать, что сделал для этого всё возможное.
(Та же фраза с "хотя бы" близка по смыслу, однако несёт оттенок предположения, неуверенности и более свойственна разговорной речи) .
2) =не меньше чем.
Ехать им оставалось по крайней мере час.

В общих чертах вот так:)

Одно и то же

Хотя бы — 1) даже если. У них (у зверей) не как у нас: у нас ребенок году, хотя б он царский был, и глуп, и слаб, и мал. Крылов. 2) если бы. Хотя б уж ты в окружности росла: густою тению ветвей моих покрытой, от непогод бы я быть мог тебе защитой. Крылов. 3) даже, например. Его неспособность видна хотя бы из таких фактов. 4) то же, что хоть бы в 1 знач. (см. хоть2; простореч.) .

По крайней мере — хотя бы только, во всяком случае, не меньше чем