Французское слово "blague" может иметь что-то общее в происхождении с русским "блажь"?

С русским оно не имеет ничего общего, это абсолютно случайное совпадение. Слово blague впервые было зафиксировано в словаре в 1721 г. (Словарь химических терминов, включающий теорию и практику этой науки, ее применение и использование в естествознании и в искусствах Dictionnaire de chimie contenant la théorie et la pratique de cette science, son application à l’histoire naturelle et aux arts de Cadet de Gassicourt.) оно происходит от голландского слова balg, означавшего "мешочек для табака". В 1809 г. к первоначальному значению слова добавилось значение "шутка",
от понятия "надутый (мешочек) , вздутый, напыщенный"
Источник: http://fr.wiktionary.org/wiki/blague

К ответу Елены, и еврейское ברך, ברוך, барах, барух, тоже от славянского "благо".
Нет ли связи blague с русским "балагур"?

Такое же "общее происхождение" как и у глаголов бить и beat.

Происходит от сущ. благо, далее из праслав. формы, от которой в числе прочего произошли: др. -русск. *бологъ, ст. -слав. благъ, русск. благо, благой (церк. -слав. заимств.) , укр. бо́лого, болг. благо́ «еда, запретная во время поста» , сербохорв. бла̑г «благой, хороший» , бла̑го «имущество; деньги; домашний скот» , словенск. blȃg «благородный» , blagȏ «имущество; скот» , чешск. blahý «блаженный» , blaho, blaze «хорошо» , польск. błogi «блаженный, приятный» , н. -луж. błožki «блаженный».

это что то вроде шутовства кривлянья несерьезного поведения